Kapasitör ve direnç ilk durumda DC ile beslenirken kapasitör şarj olur ve bir miktar ısı direnç üzerinden etrafa yayılır. Gerilim kaynağı kesildiğinde kapasitör yüklü durumda yani şarjlıdır ve kapasitörde depolanan enerji nedeniyle direnci beslemeye devam eder ve direnç üzerinde ısı yayılır ve bir süre sonra kapasitörde gerilimin sıfıra yaklaşması RC devrede anlatılmaktadır. 

DC besleme kesildiğinde, kapasitör ve direnç aynı akımı ve gerilimi taşıdığından birbirine hem seri hem de paraleldir.

Kapasitörde \[{i_C}(t) = C\frac{{d{v_C}(t)}}{{dt}}\] ifadesine göre ani gerilim değişimine izin verilmez zaman ( t ifadesi) sıfıra yaklaşırsa akım değeri aşırı artar. Bu durum fiziksel olarak da mümkün olmadığından kapasitörde ani gerilim değişimi oluşmaz ve kapasitör gerilim sınırlayıcı olarak çalışır.

Doğal cevap, besleme kaynağının aniden devreden çıkması sonucu direncin kapasitör ile beslenmesidir. Amaç DC besleme kesildiğinde kapasitörün direnci beslerken gerilim fonksiyonunu bulmaktır. 

Kirchhoff Gerilim Kanunu ( En sağdaki şekil)

\[ - {v_R}(t) + {v_C}(t) = 0\]


Not : Akım kanunundan da bulunabilir hatta daha kolay bulunuyor

\[{i_C}(t) + {i_R}(t) = 0\]

Kapasitör akımı ifadesinden gerilim ifadesi çekilir.

\[{i_C}(t) = C\frac{{d{v_C}(t)}}{{dt}}\]

Gerilim ifadesi eşitsizlikten çekilip kapasitörün başlangıçtaki gerilimi   \[{{v_C}(0)}\]

ve belli bir zamanda değeri   \[{{v_C}(t)}\]

göz önüne alınarak kapasitör gerilim ifadesi integral alınarak yazılabilir.

\[\int\limits_{{v_C}(0)}^{{v_C}(t)} {{v_C}(t)}  = \frac{1}{C}\int\limits_{{t_0}}^t {{i_C}(t)dt}\]

\[{v_C}(t) - {v_C}(0) = \frac{1}{C}\int\limits_{{t_0}}^t {{i_C}(t)dt}\]


Kapasitör gerilimi başlangıç gerilimi ile ifade edilebilir.

\[{v_C}(t) = \frac{1}{C}\int\limits_{{t_0}}^t {{i_C}(t)dt}  + {v_C}(0)\]

Kirchhoff'a geri dönersek direncin bağlı olduğu durumda;

\[- {v_R}(t) + {v_C}(t) = 0\]

\[- {i_R}(t)R + \frac{1}{C}\int\limits_{{t_0}}^t {{i_C}(t)dt}  + {v_C}(0) = 0\]

Pasif işaret kuralına göre dirence gelen akım dirence pozitif taraftan girer.

Kolaylaştırmak adına akım ifadesi tek tip devre akımı olarak yazılabilir.

\[{i_C}(t) = i(t)\]

\[{i_R}(t) =  - i(t)\]

Kirchhoff gerilim kanununda tekrar yazılırsa ( eksi işarete dikkat edilerek)

\[- ( - i(t))R + \frac{1}{C}\int\limits_{{t_0}}^t {i(t)dt}  + {v_C}(0) = 0\]

Amaç DC besleme kesildiğinde kapasitör geriliminin fonksiyonunu elde etmek olduğundan türev alınıp gerilim ifadesi bulunmaya çalışılır.

\[+ \frac{{di(t)}}{{dt}}R + \frac{1}{C}i(t) = 0\]

Hala akım değerleri eşitlikte yer aldığından devre akım yönüne dikkate edilerek gerilimi elde etmek adına akım değerini direnç üzerinde bulmak daha kolay olduğundan;

 \[- i(t) = \frac{{{v_C}(t)}}{R}\]

Türevde tekrar yazılırsa;

\[- \frac{{d{v_C}(t)}}{{dt}}.\frac{1}{R}.R - \frac{{{v_C}(t)}}{{RC}} = 0\]

\[\frac{{d{v_C}(t)}}{{dt}} =  - \frac{{{v_C}(t)}}{{RC}}\]

İntegral almak için değişken düzenlenmesi yapılır. Zaman ve gerilim ifadeleri karşılıklı ifade edilir.

\[\frac{{d{v_C}(t)}}{{{v_C}(t)}} =  - \frac{{dt}}{\begin{array}{l} RC\\ \end{array}}\]

\[{v_C}(0) = {V_0}\]

Kapasitör başlangıç gerilimi olsun.

\[{t_0} = 0\]

Zaman da sıfırdan başlasın.

İntegral alınırsa integral sınır değerleri değişkenlerin cinsinden olmalıdır. Burada gerilim ve zaman.

\[\int\limits_{Vo}^{{v_C}(t)} {\frac{{d{v_C}(t)}}{{{v_C}(t)}}}  = \int\limits_0^t { - \frac{1}{{RC}}} dt\]

ln fonksiyonu integralden elde edilir 

Hatırlatma :

\[ \int {\frac{1}{x}} dx = \ln x\]

\[ \int {dx}  = x\]


----

\[\ln {v_C}(t)|_{{V_0}}^{{v_C}(t)} =  - \frac{1}{{RC}}t|_0^t\]

 \[{v_C}(t)\]

yazılırken bazı kaynaklarda

\[{v_C}'(t)\]

 ya da 

\[t'\]

 yazılarak sınır değerle karışmaması istenmektedir. Değerler fonksiyonda yerine koyulan değerlerdir.

\[\ln (\frac{{{v_C}(t)}}{{{V_0}}}) =  - \frac{1}{{RC}}t\]

ln 'den kurtulmak ve gerilim ifadesini tek başına elde etmek için e kullanılır.

\[{e^{\ln (\frac{{{v_C}(t)}}{{{V_0}}})}} = {e^{ - \frac{1}{{RC}}t}}\]

\[\frac{{{v_C}(t)}}{{{V_0}}} = {e^{ - \frac{1}{{RC}}t}}\]

\[{v_C}(t) = {V_0}{e^{ - \frac{1}{{RC}}t}}\]

Kapasitöre direnç bağlayıp şarj olduktan sonra DC'yi kesersek, direnç üzerinde ısı yayılarak kapasitör deşarj olur. Bu ifade deşarj ifadesidir ve kapasitör başlangıç gerilim değerine bağlıdır.

R değeri artılırsa 

\[v(t) = i(t)R\]

göz önüne alındığında belli bir gerilimde akım düşer.

\[p(t) = i{(t)^2}R\]

olduğundan daha az güç ya da ısı yayılır. 

\[t = RC\]

alınırsa gerilim belirli bir zamanda 

\[v(t) = {V_0}\frac{1}{{{e^1}}} = \frac{{{V_0}}}{{0.3678}} = 2,718{V_0}\]

değerine düşer.

R ve/veya C arttığında örnek RC ifadesi 2 katı olsun,  gerilim 

\[{V_0}\frac{1}{{{e^{t/2t}}}} = \frac{{{V_0}}}{{{e^{0.5}}}} = \frac{{{V_0}}}{{0.6065}} = 1,648{V_0}\]

değerine daha fazla zaman geçtikten sonra düşer. Nedeni RC değeri zaman ekseninde de ileri yönlü ilerleme yaptırır. Başka ifade ile RC değeri bir zaman ifadesi olduğundan RC artarsa kapasitörde depolanan enerjiyi ısıya dönüştürmek için daha fazla zaman gerekir. 

NOT:

R.C=ohm.farad

Ohm=volt/amper

farad=coulomb/volt

volt/amper x coulomb/volt=coulomb /amper

amper=coulomb/saniye

coulomb/coulomb/saniye=saniye



Referans: W.Hayt. J.E. Kemmerly, Engineering Circuit Analysis, 

Çizim: Libre Office Draw