Üç fazlı devrelerde faz gerilimi, fazlar arası gerilim konusunu bilgi tazelemek amacıyla biraz detaylandırdım. İşlemler sırasında ağırlıklı olarak vektörlerin analitik yöntemle toplanıp çıkarılması kullanılmıştır.  Yazıda basit anlatım tercih edilmiştir.


 


Üç ayrı gerilim, generator sargılarında 120 derece faz farkı ile oluşmaktadır. Şekil 1'de yıldız bağlı sistemde fazlar arası gerilimi bulmak için iki gerilim arasındaki farka bakılır. Faz gerilimi rms değeridir. Kaynaklarda R - S - T yerine ingilizce renk ifadeleri R - Y - B (red-yellow-blue) kullanılabilmektedir.

Not: Vektör çizimleri ölçekli değildir ve açık kaynak kodlu LibreOffice Draw programında yapılmıştır. 




Faz nötr gerilimi ve fazlar arası gerilim, arası gerilimi vektörel toplama ile bulma


Şekil 1. Faz-nötr ve faz-faz gerilim


{V_{RS}} fazlar arası gerilim yani faz-faz gerilimini bulmak için R fazındaki faz-nötr arası gerilimden S fazı faz-nötr gerilimi vektörel olarak çıkarılacaktır. Vektör çıkarma işleminde yön  {V_{SN}} 'den  {V_{RN}} 'ye doğru olur.  Basit vektör çıkarma işlemi Şekil 2'deki gibidir. 


Vektörlerde toplama çıkarma, gerilim vektörleri, fazörler
Şekil 2. Vektörlerde toplama ve çıkarma


Analitik yöntemle vektör toplayıp çıkararak faz-faz gerilimleri bulunabilir.


Faz bileşenleri, Fazlar arası gerilimi vektörel toplama ile bulma


Şekil 3. R ve S fazı bileşenler


{V_{SN}} gerilim vektörü ile {V_{RN}}  gerilim vektörü arasında 120 derece vardır. {V_{RN}} 'nin x ekseni ile yaptığı açı 90 derecedir. {V_{SN}} 'nin x ekseni ile yaptığı açı 120 derecenin 90 dereceden çıkarılması ile bulunur. Saat yönünün tersi alınarak trigonometrik işlemlerde kullanmak üzere - 30^\circ yazılabilir. Analitik yöntemle vektör çıkararak {V_{RS}}'i bulmak için  vektörlerin x ve y eksenindeki bileşenlerine bakılacaktır (Şekil 3). 

Burada  {V_{SN}} vektörünün x ve y eksenindeki bileşenleri:

{V_S}{_N_x} = {V_S}_N.\cos ( - 30)

{V_S}_{Ny} = {V_S}_N.\sin ( - 30)


{V_R}_N 'nin x ve y eksenindeki bileşenleri:

{V_{RNx}} = {V_R}_N.\cos 90 = 0

{V_{RNy}} = {V_{RN}}.\sin 90 = {V_R}

olur


Faz gerilimini elde etme, 380 V, kök 3
Şekil 4. Faz-faz gerilimi elde etme


Vektörlerde çıkarma işlemi çıkarılan vektörün yönü değiştirilerek iki vektörün toplanması şeklinde yapılabilmektedir. Burada  {V_S}_N vektörünün yönü değiştirilir ve {V_{RS}} = {V_{RN}} + ( - {V_S}_N)  şeklinde yazılabilir. {V_S}{_N_x} ve {V_S}_{Ny} vektörleri de bileşenler olduğundan yön değiştirerek - {V_S}{_N_x} ve - {V_S}_{Ny}olur. Negatif işaret yön değişmesini ifade eder. Eksenlerin pozitif ve negatif tarafına göre vektörler toplanır ya da çıkarılır. 


Bileşke vektörün yani {V_{RS}} vektörünün bulunması için x ve y eksenindeki bileşenleri gereklidir. Şekil 4'te {V_{RS}} vektörünün bileşenleri

{V_{RSx}} = {V_{RNx}} - {V_{SNx}} = 0 - {V_{SNx}}

{V_{RSy}} = {V_{RNy}} - {V_{SNy}} = {V_{RN}} - {V_{SNy}}


Sin(-30)'un negatif değer almasıyla  {V_{SNy}} negatif  değer alır ve y ekseninin negatif tarafında kalır. Bu nedenle vektör çıkarma işleminde yön değiştirir ve  değeri pozitif değer olur ( iki negatif = pozitif). Bu nedenle Şekil 4'te gösterildiği gibi {V_{RNy}} vektörü ile toplanır ve bileşke vektör {V_{RS}}'nin y ekseni bileşeni olur. 

Analitik yöntemle açıları bulmak için sistemi dengeli düşünerek gerilim değerlerinin aynı olduğu varsayılırsa;

 {V_{RN}} = {V_{RNy}} = {V_{SN}} = a alınabilir.

Faz-faz gerilimi olan {V_{RS}} 'in y ekseni ile yaptığı açıya da \theta denilirse, arctan ile Şekil 4 baz alınarak açı bulunur.


\theta = \arctan \frac{{0 - {V_{SNx}}}}{{{V_{RNy}} - {V_{SNy}}}} = \arctan \frac{{ - a.\cos ( - 30)}}{{a - a.\sin ( - 30)}}


\theta = \arctan \left[ {\frac{{ - a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{a - (a.\frac{{ - 1}}{2})}}} \right]

\theta = \arctan ( - \frac{{\sqrt 3 }}{3}) = - 30


Geometri kullanarak da faz faz gerilimi hesaplanabilir.


Geometrik yöntemle faz gerilimi, fazlar arası gerilim
Şekil 5. Geometrik yöntemle faz gerilimi ve faz-faz gerilimi


Diğer bir yol kosinüs teoremidir.

{V_{RS}}^2 = {V_{RN}}^2 + {V_{SN}}^2 - 2{V_{RN}}.{V_{SN}}.\cos (120)

{V_{RS}}^2 = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}. - \frac{1}{2} = 3{a^2}

a = {V_{RN}} \Rightarrow {V_{RS}} = \sqrt 3 .{V_{RN}}


Fazlar arası, faz-faz gerilimi elde etme, çıkarılışı
Şekil 6. S ve T fazlar arası gerilimini elde etme


{V_{ST}} gerilimi de benzer şekilde bulunabilir. Daha iyi anlamak adına gerilimler arası farkların aslında, 

{V_{ST}} = {V_{SN}} - {V_{TN}}

{V_{ST}} = {V_S} - {V_N} - ({V_T} - {V_N}) = {V_S} - {V_T} olduğu görülür.

Analitik işlemler için {V_{TN}} vektörünün x ve y bileşenleri:

{V_{TNx}} = {V_{TN}}.\cos 210 = {V_{TN}}.( - 0,86)

{V_{TNy}} = {V_{TN}}.\sin 210 = {V_{TN}}.( - 0,5) olarak bulunur ve x ve y ekseninin negatif tarafındadır. 

Vektörlerde çıkarma işleminde {V_{TN}} çıkarılan vektör olduğundan ( {V_{ST}} = {V_{SN}} - {V_{TN}}) işaret değiştirir. Bu nedenle - {V_{TNy}} vektörü ile {V_{SNy}} vektörü birbirini götürürken x eksenindeki bileşenler toplanır ve  {V_{ST}}_x  vektörünü oluşturarak {V_{ST}} vektörünü belirler. Böylece fazlar arası gerilim vektörü pozitif x  ekseni üzerinde olur. 

{V_{TR}} faz-faz gerilimi de Şekil 7'deki gibi bulunur. 

Fazlar arası, faz-faz gerilimi elde etme, çıkarılışı
Şekil 7. R ve T fazlar arası gerilimini elde etme

 y ekseni ile yapılan 30 derecelik açı aşağıdaki gibi bulunabilir.

{V_{RN}} = {V_{RNy}} = {V_{TN}} = a

\theta = \arctan \left[ {\frac{{{V_{TN}}.( - \frac{{\sqrt 3 }}{2})}}{{{V_{TN}}.( - \frac{1}{2}) - {V_{RN}}}}} \right]

\theta = \arctan \left[ {\frac{{ - a\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{ - a}}{2} - a}}} \right] = 30


Tüm gerilimler bir arada gösterilirse; 

Fazlar arası, faz-faz gerilimi elde etme, çıkarılışı
Şekil 8. Faz gerilimleri ve fazlar arası gerilim ( Şekil 1'in elde edilmesi)


Alternatif akımda vektör ifadesi yerine fazör ifadesi büyüklük ve açı belirtmek amacıyla, karmaşık sayı ekseninin eklenmesi ile kullanılır. Vektör ifadesi konuyu basitleştirmek adına kullanılmıştır. Formüllerde sayısal değerler ile karşılaştırma yapılabilir. Örneğin, 220 V faz gerilimi, 220x0,86=189 V ve 220x0,5=110 V bileşen değerleri ile kullanılarak  fazlar arası gerilim eklenip çıkarma ile  380 V olarak bulunabilir.