Düğüm Analizinin Cramer Yöntemi ile Çözümü ve Proteus Gösterimi

umutdoner Haziran 01, 2022

Devre analizinde düğüm analizi yöntemi ( node analysis) ile gerilim ve akım değerleri bulunabilir. Örnekte cramer yöntemi ile matris ve determinant çözümü yapılarak gerilim değerleri bulunmuştur. Devre analizinde çözümden emin olmak için devre Proteus simülasyon programına kurulabilir.

Analiz yöntemi:

1- Devrede düğümler ( a, b, c gibi) yani node'lar belirlenir.

2 - En çok kol gelen düğüm (Örnekte Vr) referans seçilerek sıfır değeri verilir.

3- Her düğüme Va, Vb, Vc gibi gerilim değeri atanır. Düğüm sayısı N ise N-1 kadar denklem oluşacaktır.

4- Kirchoff'un akım kanunu uygulanarak denklemler elde edilir. Pasif işaret kuralına göre direnç güç çeken bir eleman olduğundan akımın giriş yaptığı yer pozitiftir. Her düğümde hayali bir akım vektörü direnç üzerinden geçişlerde düğüm noktasından dışarı yönde alınır. Örneğin aşağıda "a" düğümünde dirençler üzerinden geçecek akımlar dışarı yönlüdür. Aynı şekilde "b" düğümünden çıkan akımlar "a" düğümünden çıkan akım ile ortak direnç üzerinden geçse bile "a" düğümü göz önüne alınmadan akım yönü daima dışarı yönlü seçilmelidir. Kirchoff akım kanununda düğüme giren akımlar negatif, çıkan akımlar pozitif işaretlenir.

5- Cramer yöntemi ile matris çözümü yapılır.

"a" düğümüne 9A akım kaynağından akım girdiğinden negatif işaretlenir. 3A akım kaynağına düğümden çıkış olduğundan dirençler üzerinden geçecek akımlarla birlikte pozitif işaretlenir.

Akımlar cinsinden düğüm denklemleri yazılır. Her direnç 1 ohm alınmıştır.

$I = \frac{{{V_{ab}}}}{R} = \frac{{Va - Vb}}{R}$ (Akım yoğun potansiyelden daha az potansiyele akar)

$- 9 + 3 + \frac{{Va - Vb}}{1} + \frac{{Va - Vr}}{1} + \frac{{Va - Vc}}{1} = 0$

( "a" düğümü için denklem)

"b" düğümüne 3A akım kaynağından gelen akım giriş yaptığından negatif işaretli alınır. Dirençlere giden akım dışarı yönlü olduğundan pozitif alınır.

$- 3 + \frac{{Vb - Va}}{1} + \frac{{Vb - Vc}}{1} + \frac{{Vb - Vr}}{1} = 0$

( "b" düğümü için denklem)

"c" düğümüne 7 amper akım kaynağından akım girişi olduğundan negatif işaretli, dirençlere giden akımlar dışarı yönlü olacağından pozitif işaretli alınır.

$- 7 + \frac{{Vc - Va}}{1} + \frac{{Vc - Vb}}{1} + \frac{{Vc - Vr}}{1} = 0$

("c" düğümü için denklem)

Denklemler (4 düğüm noktasından N-1=3 denklem oluşur)

3Va - Vb - Vc = 6

- Va + 3Vb - Vc = 3

- Va - Vb + 3Vc = 7

Va, Vb, Vc katsayıları "A" matrisine yazılır. Denklemler aşağıdaki gibi matris haline dönüştürülebilir.

"Va" gerilim değerini bulmak için A matrisindeki birinci sütuna [6,3,7] değerleri getirilir. Cramer yöntemi ile hesaplama yapılır.

İlk iki satır determinantta aynen alta yazılarak sağ çapraz "+" , sol çapraz "-"işaretlenir ve "+" yolu boyunca tüm sayılar çarpılıp toplanır ve "-" yolu boyunca tüm sayılar çarpılıp toplanarak iki değer birbirinden çıkarılır.