RMS Value of Voltage

 

The equations for rms value of voltage, note that voltage with phase angle. Follow the equations easily.

\[{V_{rms}} = {\left[ {\frac{1}{T}\int\limits_0^T {{V^2}_{\max }} {{\cos }^2}(\omega t + {\theta _v})d(\omega t)} \right]^{\frac{1}{2}}}\]

\[\int {{{\cos }^2}} x = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + c\]

\[{V_{rms}} = {\left[ {\frac{1}{T}{V^2}_{\max }\left[ {\frac{{\omega t + {\theta _v}}}{2} + \frac{{\sin 2(\omega t + {\theta _v})}}{4}} \right]_0^T} \right]^{\frac{1}{2}}}\]

\[\omega  = \frac{{2\pi }}{T}\]

\[\sin (x + y) = \sin x.\cos y + \sin y.\cos x\]

\[\sin (2\omega t + 2{\theta _v}) = \sin 2\omega t.\cos 2{\theta _v} + \sin 2{\theta _v}.\cos 2\omega t\]

\[\begin{array}{l} \cos 0 = 1\\ \sin 0 = 0 \end{array}\]

\[\begin{array}{l} \sin 4\pi  = 0\\ \cos 4\pi  = 1 \end{array}\]

\[{V_{rms}} = {\left[ {\frac{1}{T}{V^2}_{\max }.\pi } \right]^{\frac{1}{2}}} = {V_{\max }}\sqrt {\frac{\pi }{T}}\]

\[T = 2\pi  \Rightarrow {V_{rms}} = \frac{{{V_{\max }}}}{{\sqrt 2 }}\]

Kırmızı ve Mavi Jeton Yer Değiştirme - Yapay Zeka

 

Harmoniklerin Dağıtım Trafosuna Etkisi

Nükleer Santral Elektrik Sistemi Temel Konular

Nükleer sektörde ya da nükleer santral kavramı içinde elektrik sistemi; ağırlıklı olarak güç sistemleri, santral güç sisteminin analizi, şebeke kararlılık analizi ve güvenlik analizlerini de kapsayarak iletim şebekesine bağlantı,  şalt sahası konfigürasyonları ile santral içi alternatif akım, doğru akım sistemleri ve şebeke kaybı durumunda acil durum sistemlerini ve santral kararması durumunda devreye girecek besleme sistemlerini içermektedir. 

Nükleer santralin termik santralden en önemli farkı, kaza durumunda sonuçların ağır olması nedeniyle güvenlik (safety) kavramıdır. Santralde temelde 3 adet güvenlik fonksiyonu vardır. Bunlar, reaktivitenin kontrolü, artık ısının bertaraf edilmesi, radyoaktif maddenin sınırlandırılmasıdır. Elektrik sistemi beslemesi doğrudan bu 3 adet güvenlik fonksiyonunu gerçekleştirmez ancak bu fonksiyonları yapan ekipmanın çalışabilmesi için güç beslemesi sağlar. Güvenlik fonksiyonları, santral tipine bağlı olarak aktif ve pasif sistemlerle  gerçekleştirilir. Aktif ve pasif sistem kavramı, güvenlik fonksiyonlarının gerçekleştirilmesinde elektrik sistemine ve şebekeye ne kadar bağımlı olunması ile ilgilidir. Örnek olarak yakıt erimesine yol açabilen ısının santralden atılması için gerekli sistemlerin çalıştırılması elektrik şebekesine veya santral içindeki dizel generatör gibi elektriksel kaynaklara bağımlı ise aktif sistem geçerlidir. EPR aktif sistemli, AP1000  pasif sistemli reaktörlere örnek olarak verilebilir.

Elektrik sistemi, iletim şebekesi beslemesi (offsite power), santral elektrik dağıtım sistemi (onsite power), acil durum besleme sistemi, DC sistemler ve santral kararması durumunda devreye giren sistemler olarak ele alınabilir.

IEEE 765 ve 308 standartları nükleer santralin iletim şebekesi ve santral elektrik dağıtım sistemi konfigürasyonları hakkında güvenli bir işletmeyi sağlamak amacıyla tasarım kriterlerini belirler.

İletim Şebekesi Beslemesi ( Offsite Power)

Santral normal işletme sırasında iletim şebekesine enerji vermekte, devreye alma ve devreden çıkma esnasında şebekeden enerji çekebilmektedir. Ünite senkron generatörü genelde 3 adet tek fazlı ya da 3 fazlı yükseltici trafo ile iletim şaltına bağlanır. Bir PWR santralin elektrik sistemi tasarımına bağlı olarak normal işletme koşullarında santral iç tüketimi, senkron generatör yani ünite çıkışından ya da Amerika'daki nükleer santral örneklerinde olduğu santral şaltı vasıtasıyla şebekeden de karşılanabilir. Şekil 1 santral güvenlik fonksiyonlarını yerine getirecek sistemlerin beslenmesi amacıyla güvenlik baralarının bağlantılarını IEEE 765 standartı baz alarak örnek olarak göstermektedir. Santral teknolojisi ve elektriksel tasarıma göre tek hat değişecektir. 

Şekil 1'de santralin devreye alınması ve devreden çıkarılması durumunda generatör kesicisinin açılması ile çift yönlü ana trafo sayesinde santral iletim şebekesinden ünite trafolarını besleyerek gerekli fonksiyonları gerçekleştirir. Ana şebekeden (main grid) besleme olarak ifade edilen bu besleme biçiminde, ana şebekenin kaybı durumunda yedek besleme sistemi santral iç tüketim baralarına ayrı bir hat ya da hatlarla indirici trafolar (yedek şebeke trafosu) vasıtası ile bağlanmaktadır. Güvenlik fonksiyonu için besleme sağlayan güvenlik baraları ve güvenlikle ilgili olmayan bara sayısı santrale göre değişir. Güvenlikle ilgili olmayan baralar, güvenlik baralarını besleyen ünite trafosu hattı ile beslenebildiği gibi ayrı bir trafo veya trafolar ile de beslenebilir. 

Yedek şebeke,  ana şebeke ile aynı gerilim seviyesinde olabilir. Bu durum, nükleer güvenlik için yeterli olmakla birlikte farklı gerilim seviyesi ile bağlantı ile güvenlik artırılmaktadır. Nükleer güvenlikte en az iki iletim sistemi ile bağlantı gerekmekte ve kaza durumunda santrali güvenli duruma getirecek, birbirinden fiziksel olarak bağımsız bu iki iletim sistemi kullanılmaktadır. Türkiye'de bu durumda ana şebeke olarak 400 kV ve yedek şebeke olarak 154 kV iletim sistemi örnek olarak verilebilir. 

Şekil 1. Güvenlik Baralarının Ana ve Yedek Şebekeden Beslenmesi

Acil Durum Besleme Sistemleri

Yüksek güçlü nükleer santralin devreden çıkması nedeni ile santralin kendisinden kaynaklı veya şebeke kaynaklı kararsızlık ve şebeke çökmesi gibi durumlar olabilmekte ve nükleer santralin bağlı olduğu iletim şebekesinin kaybı durumu, nükleer santral tasarımda beklenen olay/durum ( tasarımda güvenlik analizlerinde hesaba katılan olay/kaza)  veya çalışma koşulu olarak tasarım kriterlerinde ele alınır. Bu durumda kısaltması nükleer literatürde LOOP olan "Loss of Offsite Power" oluşmaktadır. Bu nedenle santral acil durum besleme sistemleri şebeke kaybı nedeni ile çalışır. Acil durum besleme sistemi santrali güvenli bir şekilde devreden çıkarmaya ("safe shutdown") ve güvenli halde tutmaya yarayan generatör ( dizel, gaz türbini vs. ve kontrol, kumanda teçhizatı) ve ilgili her türlü sistemdir. Normal koşullarda standby durumunda olan dizel generatör bağlandığı baranın düşük gerilim sinyali ile otomatik olarak devreye girer ancak bunun için doğru akımla çalışan kontrol lojiğine ihtiyaç duyar. Bu durum santralde DC sistem ve genelde kullanılan kurşun asit aküleri önemli kılar. 

Dizel generatör gibi acil durum kaynakları, santrali güvenli bir şekilde devreden çıkarmaya yarayacak olan sistem ve ekipmanın ( motorlu valf, pompa vs) elektrik beslemesini sağlar. Santrali güvenli bir hale getirecek bu sistemlere güvenlikle ilgili sistemler (Safety-related) denilmektedir. IEEE 308 standartı ile Class 1E terimi güvenlikle ilgili fonksiyon yerine getirecek sistem ve ekipman için kullanılmaktadır. Örnek olarak dizel generatörler güvenlik fonksiyonu yerine getirdiğinden Class 1E ekipman olarak tanımlanabilir. Nükleer literatürde Class 1E ekipman, güvenlik ile ilgili bir fonksiyon yerine getirdiğinden yani basitçe beklenen bir olay ya da kaza durumunda çalışması gerektiğinden deprem gibi sismik olaylar ve sert çevre koşulları göz önüne alınarak kalifiye (qualification) edilir. 

Nükleer santralde güvenli devreden çıkarma ve sonrasında soğutma sağlanarak santrali güvenli durumda tutma, nükleer reaktörün kapansa dahi bir süre ısı üretmeye devam etmesi ve reaktör soğutulmazsa bu ısının yakıt erimesine yol açması nedeniyle yani bir nükleer kazanın önlenebilmesi amacıyla ısının reaktörden uzaklaştırılması zorunluluğundan kaynaklanır.

Nükleer santralin termik santralden elektriksel tasarım olarak farklarından biri güvenlik fonksiyonu yerine getirecek acil durum besleme sistemlerinin, örnek olarak dizel generatör ve güvenlik barası sayısının tekil arıza (single failure, N+1) ya da daha fazla arıza durumu göz önüne alınarak tasarlanmasıdır. Örnek olarak 3 adet generatör 3 adet farklı baraya bağlanır ve birinin arızası durumunda diğerleri birbirini yedekler. Bu generatörlerden her biri tek başına güvenlik fonksiyonunu yerine getirebilecek kapasitededir. Online bakımı göz önüne alarak generatör ve bara sayısı artırılan santral tasarımları Generation 3+ reaktörlerinde N+2 kısıtlılık ile yer almaktadır. Bu durumda 4 adet güvenlik barası (Class 1E) bara güvenlik fonksiyonları için ayrı dizel generator ya da gaz türbini generatorleri ile yedeklilik (redundancy) oluşturulur ve tekil arıza ve bakım durumunda yedekli baralar vasıtası ile kazayı tetikleyebilecek bir olay ya da kaza durumunda santrali güvenli bir şekilde kapatılmasını sağlar. 

Santral Kararması (SBO) Durumu

Santral kararması terimi  "Station Blackout(SBO) ile ifade edilmekte ve santralde her türlü alternatif akım kaynağının kaybı durumu bahsedilmektedir. Özetle "safe shutdown" için güvenlik fonksiyonunu yerine getirecek Class 1E sistemin ( yedekli baralara bağlı dizel generatorler) kaza/olay veya hata nedeniyle devrede olamamasıdır. Ancak santral kararmasında santralde doğru akım kaynakları ( kurşun asit akü, UPS, konvertör) devrededir. Anlaşıldığı üzere AC sağlayan elektrik şebekesi ve santral güvenliği ile ilgili dizel generatörlerin devreye girememesi yani LOOP sonrası oluşan durumdur. 

Santral kararması sonrası periyotta şebekenin tekrar kazanılmasına ve gerekli soğutma için yedek ve farklı bir AC kaynağın bulundurulması (farklı marka, model ve teknolojide generator - diversification yapma durumu) ve gerekirse mobil ekipman tedariği gibi önlemlerin alınması gerekmektedir. Bu tasarım kriteri güvenlikle ilgili kaza/olaylar dikkate alındığında tasarımda göz önüne alınmaktadır. Farklılaştırılmış AC generator manuel olarak devreye alınır (grace period) ve güvenli kapatma durumunda kalmak için gerekli yakıt kapasitesine sahip olmalıdır ( şebeke geri kazanılamazsa artık ısı(decay heat) zararsız hale gelene kadar soğutma devam etmeli). 

Şebeke Kararlılığı ve Güvenilirliği

Aktif soğutma sistemi kullanan nükleer santral için şebekenin büyüklüğü, kararlılığı ve güvenilir olması nükleer güvenlik için önemlidir. Büyük güçlü bir nükleer santral, hem iletim şebekesinin kararlılığını (nükleer santralde inertia fazladır ve kararlılığı artırır) yani güvenilir şebekeyi hem de nükleer güvenliği sağlamak durumundadır. İletim şebekesi kaybı (LOOP) durumunda reaktör soğutma yapılması için güvenli bir şekilde santrali devreden çıkaracak ve o durumda tutabilecek güvenlik sistemleri bulunmak zorundadır.

Nükleer santralde GW düzeyinde büyük güçlü bir generator veya generator grubunun bir anda devreden çıkması önlem alınmazsa ( nükleer santralin şebekeye etkisi çalışması ve buna göre şebeke tasarımı ve işletilmesi yapılmalı) iletim şebekesinde kararsızlığa hatta çökmeye ve aynı şekilde nükleer santralin çalışan ünitelerinin ya da başka bir nükleer santralin şebeke kararsızlığı nedeniyle güvenli kapatma durumuna geçmesine yol açabilir. Nükleer santrallerde şebeke kararlılığını sağlayan sistemler bulunmaktadır. 

House load (İç Tüketim Besleme) Çalışma

Bazı nükleer santraller özellikle Avrupa reaktörlerinde, iletim şebekesinin kısa süreli kararsızlığı durumunda senkron generatör sadece santral iç tüketimini sağlayacak şekilde yani "house load" çalışabilme özelliği ile şebeke bağlantısından ayrılır. Bu özellik ile, yüksek güçlü bir santralin devreden tamamen çıkmaması nedeni ile şebeke kararlılığı artar. House load çalışmada, yani santral dağıtım sisteminin generator çıkışından beslenmesi için kondenserin ve buhar bypass valfinin ebatı önem arz eder. Ancak house-load özelliği ile türbin ve reaktor kontrol sistemi ile röle koruma sistemi karmaşıklaşır. Generator kesicisinin kullanılması zorunludur. Ani yük düşüşü ile reaktördeki aşırı güç türbin-generator tarafından kondensere buhar gönderilerek absorbe edilmelidir. 

Yük Takibi (Load Follow), Frekans Kontrolüne Katılım 

Büyük güçlü nükleer santral baz yük santrali olarak düşünülse de özellikle Avrupa reaktörlerinde yük takibi (load follow) yapılabilmekte ( reaktördeki kontrol çubuklarının özelliğine ve malzemesine bağlıdır) ve gerektiğinde sistem frekansını dengelemek amacıyla primer ve sekonder frekans kontrolüne katılım sağlayabilmektedir. Özellikle, Fransa gibi nükleer santral sayısının fazla olduğu ülkelerde ve yenilenebilir enerji kaynaklarının şebekede çoğalması ile şebeke kararlılığı açısından nükleer santrallerde işletme esnekliği özelliği önem kazanmıştır.

Yük takibi, primer ve sonrasında sekonder frekans kontrolünden farklı olarak santral elektrik üretiminin tüketim talebini takip ederek birkaç gün ya da bir hafta önceden planlanan zamanlara göre veya talimata göre merkezi bir sinyal ile gerçekleştirilmesi ve santral elektriksel ve termal gücünün dakikalar içinde artırılıp azaltılmasıdır. Özellikle ilk etapta sekonder frekans kontrolüne benzemekle birlikte burada amaçlanan talebe göre çıkış gücünü ayarlamaktır. Frekans kontrolünde özellikle önceden belirlenen yüzdelik bir değere göre santral çıkış gücü artırılıp ya da azaltılır, yük takibi özelliği bu yüzdelik değere göre daha fazla esneklik sağlar, yani yük takibi yapabilmek frekans kontrolünden daha gelişmiş bir özelliktir. 

Kaynak Önerileri

1- Türkiye'deki mevzuat, özellikle Şebeke Yönetmeliği ( nükleerle ilgili maddeler içerir) ve alakalı olarak ENTSO-E

2- TAEK'in Akkuyu ile ilgili saha raporunda genel olarak nükleer santralin saha uygunluğunun özellikle santral tek hattı, iletim sistemine bağlantısının nasıl olacağı ile ilgili bilgiler içerir (11. Elektrik Sistemleri). 

https://webim.ndk.gov.tr/file/bf8aec82-4609-45d6-85cc-b3822a1509a9

3- Amerikan Nükleer Düzenleme Kurumu'nun da web sayfası özellikle lisanslama için başvuru yapan nükleer santrallerin nihai güvenlik raporlarının 8. Kısmı ( FSAR- Final Safety Analysis Report), Chapter 8 Electric Power Systems), tasarım kontrol dokümanları ( DCD- Design Control Document) santral elektrik sistemi hakkında bilgi içerir. 

Amerika kaynaklı olduğundan IEEE standartlarına atıfı ve analiz raporlarının ağırlıklı olarak IEEE'ye uygunluk açısından döndüğünü farkedeceksiniz. Sitenin güzel yanı farklı ülke teknolojilerinin Kore, Fransa gibi lisanslama için başvuru yaparak santral tasarımı hakkında bilgi vermesidir. Asıl amaç, lisanslama için NRC'nin güvenlik kriterlerine santralin uyumlu olduğunu göstermek olsa da içerik nispeten detay içerir.

https://www.nrc.gov/reactors/new-reactors/col.html

4- IAEA Yayınları

https://www.iaea.org/search/google/electrical

Raporlar, yayınlar genel ifade ve güvenlik kavramı 

5- OECD Yayınları 

https://www.oecd-nea.org/

6-IEEE Standartları

7-IEC Standartları

8- Kitap: Electrical Systems for Nuclear Power Plants ( Dr. Omar. S. Mazzoni)

    Bir şekilde tedarik edilebilir. Genel bir tanıtım şeklinde bir kitap. 

9-https://www.nuclearelectricalengineer.com/ 

    Amerika ağırlıklı bir site ancak içeriği işe yarar.

10- Genel olarak bilgi sahibi olmak için : https://world-nuclear.org/

11- Nette digital dergi takibi, e-news letter takibi faydalı olacaktır. https://www.powermag.com/

Trafo X/R Oranı Bulma

Hesaplamalarda ve analizlerde kullanmak üzere reaktans/direnç (X/R) oranı denilen değere ihtiyaç duyulabilmektedir. Trafo teknik değerler tablosunda (datasheet), trafo görünür gücü,  bakır kaybı   ya da yükte kayıp, kısmi empedans veya kısa devre empedansı (%Z) dikkate alınarak X/R oranı hesaplanabilir. Trafolara ait tablo üretici firma tarafından verilebilmektedir. Örnek olarak ABB firmasına ait bir katalogda yer alan tablodan 630 kVA, 35/0,4 kV, %6 kısa devre empedanslı yağlı trafonun yükte kaybı 7 kW olarak verilmektedir. 

X/R oranını hesaplamak için R değeri bulunur. R değeri için yüzde olarak yükte kayıp hesaplanmalıdır.

\[Yuktekayip\%  = \frac{{Yuktekayip(kW)}}{{TrafoGucu(kVA)}}\]

\[Yuktekayip\%  = \frac{{7{^{(kW)}}}}{{{{630}^{(kVA)}}}} = 0,011 = \% 1.1\]

= %R  değeri olarak alınır. 

Empedans hesabı için:

 

\[Z = \sqrt {{R^2} + {X^2}}\]

reaktans formülden çekilirse;

\[\% X = \sqrt {\% {Z^2} - \% {R^2}}  = \sqrt {\% {6^2} - \% 1,{{011}^2}}  = \% 5,898\]

\[\frac{X}{R} = \frac{{5,898}}{{1,1}} = 5,36\]

 

olarak bulunur.

Akım ve Gerilim Neden Hem Doğru Orantılı Hem Ters Orantılı

Güç ve direncin sabit kalıp kalmaması durumuna göre akım ve gerilim arasındaki ilişki doğru orantılı veya ters orantılı değişebilir.

\[V = IR\]

Ohm Kanuna göre gerilim artarsa akım artar.  R direncinin sabit kaldığı durumda akım ve gerilim arasında doğru orantı vardır. Akım ve direnç arasında ise ters orantı, gerilim ve direnç arasında doğru orantı vardır ancak akımı ya da gerilimi artırmak direnci değiştirmez. Direnç; sıcaklık, uzunluk, malzeme cinsi, kesit, özdirenç gibi özellikler ile değişir.

\[P = UI\]

Güç formülünde de akım ve gerilim arasında ters orantılı vardır.  güç değerinin trafolarda sabit kalması gerekir. Trafo primer tarafı ile sekonder tarafı arasında güç eşittir ve trafolarda gerilim değişimi sağlanır. Bu nedenle akım ve gerilim sabit gücü sağlamak için birbiri ile ters orantılı değişir. Orta ve yüksek gerilim uygulamalarında sıklıkla karşımıza çıkar. 

Elektronik bir devrede ise sabit güç değeri ile besleme yapıyorsak gerilim arttığında akım azalacaktır.  Sabit güç verip vermemek önemli değilse yani daha büyük kapasiteli bir pilden ya da güç kaynağından besleme yapılırsa gerilim ve akım doğru orantılı olarak artar. V=IR formülü elektronik devrelerde sıklıkla kullanılır

Güç değeri akım ve direnç ifadeleri ile yazılabilir. Bu durumda da akım ve direnç ters orantılıdır ancak akımı artırmak direnci azaltmaz. Buna karşın direncin artması akımı azaltır.

\[P = {I^2}R\]

Güç aynı zamanda gerilim ve direnç ifadeleri ile yazılabilir. 

\[P = \frac{{{U^2}}}{R}\]

Direncin sabit kaldığı durumda örneğin gerilimi yarıya düşürmek gücün yani birim zamanda yapılacak işin %75 düşmesine neden olur.

\[{P_2} = \frac{{{U^2}}}{{4R}} = \frac{P}{4}\]

DC Makinede İndüklenen Gerilim

Doğru akım makinesi dönen bir armatür (rotor) ve kutupların ( veya alan sargıları) bulunduğu statordan oluşur. 

Bir iletken ya da bir sarımda indüklenen gerilim "e" olsun. 

İndüklenen gerilim manyetik akı yoğunluğu 

\[B\]

tesla-\[\frac{{wb}}{{{m^2}}}\]

dönen iletken uzunluğu (metre - l) ve iletkenin tanjantsal hızı  v ( metre/saniye)  cinsinden yazılabilir. 

Manyetik akı yoğunluğu makine kutupları (N-S) ile belirlenir. İletken uzunluğu dc makinede silindirik armatüre sarılı iletkenin silindir boyunca olan uzunluğudur. İletken hızı da dönen iletkenin m/sn cinsinden hızı olarak alınır. İndüklenen gerilimin genel ifade ile ;

\[e = Blv\]

şeklinde yazılabilir.

Birimleri yerine yazarsak tek bir iletkende indüklenen gerilim değeri  "weber/sn" ifadesi " volt" olarak birim olarak yazılır. Bu ifade de zaten manyetik akı \[\phi\]

'nin zamanla değişimini vermektedir.

\[e = \frac{{wb}}{{{m^2}}}.m.\frac{m}{{sn}} = \frac{{wb}}{{sn}} = \frac{\phi }{t}\]

Armatür sargılarında indüklenen gerilim, dc makinenin armatüründe sarılı iletken sayısına(z), paralel devre sayısına (a) ve her bir iletkende indüklenen gerilime (e) bağlıdır. Paralel devre sayısı bindirmeli sarım kullanıldığında fırçalar arası kutup sayısına bağlı bir değişkendir. İki kutuplu, tek sarımlı armatürden oluşan makinede 2 adet paralel devre oluşur. 

\[{e_{armatur}} = \frac{z}{a}.e = \left( {\frac{z}{a}} \right)\left( {Blv} \right)\]

Kutupların oluşmasını sağlayan uyartım akımı manyetik akı ile ilgili olduğundan kutup başına yani bir kutbun altında etki ettiği manyetik akı yoğunluğu (B) yerine akı (Q) kullanılır. Şekildeki gibi 2 kutuplu bir makinede bir kutbun etki ettiği yüzey alanı, silindirin yanal alanının yarısına tekabül eder. Armatür yüzeyi silindiriktir. İletkenler silindirik yüzeyden geçer ve bir kutbun etki ettiği yüzey alanı ile manyetik akı yoğunluğu ve akı arasındaki bağıntı: 

\[ \phi  = B.{A_{kutup}}\]

şeklinde bulunabilir.

Burada  

\[{A_{kutup}}\]

silindirik armatürün yanal alanının yarısı olduğundan;

\[{A_{kutup}} = \frac{{2\pi rl}}{2}\]

elde edilir. Ancak kutup sayıları makinelerde farklı olabileceğinden kutup sayısına p denilirse; 

 \[{A_{kutup}} = \frac{{2\pi rl}}{p}\]

olacaktır. İndüklenen gerilimi bulmak adına manyetik akı yoğunluğu elde edilebilir.

 \[B = \frac{\phi }{{\frac{{2\pi rl}}{p}}} = \frac{{\phi p}}{{2\pi rl}}\]

\[{e_{armatur}} = \frac{z}{a}.e = \left( {\frac{z}{a}} \right)\left( {\frac{{\phi p}}{{2\pi rl}}lv} \right)\]

Silindirik yapılarda

 \[v = r\omega\]

olduğundan ve birim kontrolü de yapılırsa 

\[ v = m.\frac{{rad}}{{sn}} = \frac{{metre}}{{saniye}}\]

( radyan birimsizdir)

 \[{e_{armatur}} = \left( {\frac{z}{a}} \right)\left( {\frac{{\phi p}}{{2\pi rl}}lr\omega } \right)\]

elde edilir.

Sadeleştirme ile, 

 \[{e_{armatur}} = \left( {\frac{z}{a}} \right)\left( {\frac{{\phi p\omega }}{{2\pi }}} \right)\]

elde edilir.

\[{e_{armatur}} = \left( {\frac{{zp}}{{2\pi a}}} \right)\phi \omega\]

\[\left( {\frac{{zp}}{{2\pi a}}} \right) = K\]

ile ifade edilirse

\[{e_{armatur}} = K\phi \omega\]

olur.

DC makinede açısal hız \[\omega\] (rad/sn),  

devir sayısı  \[N\]( devir/dakika) ile ifade edilir.

 \[\omega  = \frac{{2\pi N}}{{60}}\]

Armatürde indüklenen gerilim devir sayısı ile ifade edilebilir;

\[{e_{armatur}} = \left( {\frac{z}{a}} \right)\left( {\frac{{\phi p}}{{2\pi }}\frac{{2\pi N}}{{60}}} \right)\]

Sadeleştirme ile;

 \[{e_{armatur}} = \left( {\frac{{zp}}{{60a}}} \right)\left( {\phi N} \right)\]

elde edilir.

Formülün 

\[ \left( {\frac{{zp}}{{60a}}} \right)\]

yazan kısmı tasarımcı tarafından belirlenir ve makine imal edildikten sonra değiştirilemez. Bu nedenle tasarım karakteristiğidir. İkinci kısım

  \[\left( {\phi N} \right)\]

işletme parametresi olduğundan değiştirilebilir.

Tasarım karakteristiği sabit bir değer olduğundan

  \[K = \left( {\frac{{zp}}{{60a}}} \right)\]

ile ifade edilebilir. Bu durumda armatürde indüklenen gerilim:

 \[{e_{armatur}} = K\phi N\]

olacaktır.

DC makinede armatürün uçları arasında indüklenen gerilim, armatürün devir sayısına, manyetik akıya ve tasarım parametrelerine bağlıdır. 

Kaynak: Electric Machinery Fundamentals, Chapman

Düğüm yöntemi ve Çevre Akımları Yöntemi (Mesh Analiz) Karşılaştırma

 Şekil 1'deki her biri 1 ohm direnç, 5 V DC kaynak ve 2 A  akım kaynağından oluşan basit bir devrenin hem düğüm yöntemi hem mesh analiz ile çözümü karşılaştırma amaçlı yapılmıştır.

Şekil 1. Devre

Düğüm yöntemi için düğümler (node) yazılır ve dirençler üzerinden geçecek hayali akımlar belirlenerek ve Kirchoff akım kuralı uygulanarak her bir direnç üzerindeki gerilim bulunur (Şekil 2).

Şekil 2. Düğüm Analizi

"b" düğümüne ait Vb geriliminden akım kuralı yazılırsa çıkan akımlar pozitif, giren akımlar negatif alınır.

\[\frac{{Vb - Va}}{1} - 2 + \frac{{Vb - 0}}{1} + \frac{{Vb - Vc}}{1} = 0\]

\[- Va + 3Vb - Vc = 2\]

Vc geriliminin bulunduğu düğümden denklemler yazılır.

\[\frac{{Vc - Vb}}{1} + \frac{{Vc - 0}}{1} + 2 = 0\]

\[- Vb + 2Vc =  - 2\]

 \[Va = 5V\]

olduğundan, 

\[3Vb - Vc = 7\]

\[3Vb - Vc = 7\]

\[- Vb + 2Vc =  - 2\]

denklemleri çözülürse;

\[\begin{array}{l} 6Vb - 2Vc = 14\\- Vb + 2Vc =  - 2\\ -  -  -  -  -  -  -  -  -  - \\5Vb = 12\end{array}\]

\[Vb = \frac{{12}}{5}\]

\[Vc = \frac{{ - 2 + \frac{{12}}{5}}}{2} = \frac{1}{5}\]

 \[{V_1} = Va - Vb = 5 - \frac{{12}}{5} = \frac{{13}}{5}\]

( R1 direnci üzerindeki gerilim)

 \[{V_2} = Vb = \frac{{12}}{5}\]

( R2 direnci üzerindeki gerilim)

 \[{V_3} = Vb - Vc = \frac{{12}}{5} - \frac{1}{5} = \frac{{11}}{5}\]

(  R3 direnci üzerindeki gerilim)

 \[{V_4} = Vc = \frac{1}{5}\]

( R4 direnci üzerindeki gerilim)

 \[I = \frac{V}{R}\]

olduğundan ve tüm dirençler kolaylık açısından 1 ohm alındığından akım değerleri de dirençler üzerine düşen gerilim değerlerine eşit olur.

\[I1 = \frac{{\frac{{13}}{5}}}{1} = 2,6A\]

\[I2 = \frac{{\frac{{12}}{5}}}{1} = 2,4A\]

\[I3 = \frac{{\frac{{11}}{5}}}{1} = 2,2A\]

\[I4 = \frac{{\frac{1}{5}}}{1} = 0,2A\]

Aynı devrede akımları mesh analizi yöntemi ile bulmak istersek Şekil 3'teki gibi çevre akımları yazılır ve aynı direnç üzerinden geçen akımlar yönüne göre pozitif veya negatif işaretlenir. Direnç ile seçilen akım değeri çarpılarak gerilim cinsinden analiz yapar.

Şekil 3. Mesh Analizi

Mesh 1'den başlanarak çevre akımları soldan sağa direnç yönünde yazılır ve ilgili direnç ile çarpılarak gerilim değerleri toplanır. i1 ve i2 akımı R2 direnci üzerinde zıt yönlü olduğundan gerilim değerleri çıkartılır.

\[1.{i_1} + 1{i_1} - 1.{i_2} - 5 = 0\]

\[2{i_1} - {i_2} = 5\]

Mesh 2'de akım kaynağından gelen 2A akım,  mesh 2'de seçilen i2 akımıyla aynı yönlü olduğundan R3 direnci üzerinde gerilimleri toplanarak yazılmalıdır. R2 direnci üzerinde i1 ve i2 akımları zıt yönlü olduğundan çıkarma işlemi yapılır

\[2.1 + 1.{i_2} + 1.{i_2} + 1.{i_2} - 1.{i_1} = 0\]

\[3{i_2} - {i_1} =  - 2\]

\[\begin{array}{l} 2{i_1} - {i_2} = 5\\- {i_1} + 3{i_2} =  - 2\end{array}\]

\[\begin{array}{l}2{i_1} - {i_2} = 5\\- 2{i_1} + 6{i_2} =  - 4\\-  -  -  -  -  -  -  -  - \end{array}\]

\[5{i_2} = 1\]

\[{i_2} = \frac{1}{5}\]

\[2{i_1} - \frac{1}{5} = 5\]

\[{i_1} = \frac{{5 + \frac{1}{5}}}{2} = \frac{{13}}{5}\]

R1 direnci üzerindeki gerilim (düğüm yöntemi analizinde V1 gerilimi) 

\[{i_1}.1 = \frac{{13}}{5}\]

 V olur.

Benzer şekilde R2 direnci üzerinde gerilim ( düğüm yönteminde V2 gerimi):

\[({i_1} - {i_2}).R2 = \frac{{13}}{5} - \frac{1}{5} = \frac{{12}}{5}\]

 Volt

R3 direnci üzerindeki gerilim (düğüm yönteminde V3 gerilimi)

\[(2 + {i_2}).1 = 2 + \frac{1}{5} = \frac{{11}}{5}\]

 Volt

R4 direnci üzerindeki gerilim ( düğüm yönteminde V4 gerilimi)

\[{i_2}.1 = \frac{1}{5}\]

 Volt

Simülasyon programında doğrulama:

Şekil 4. Proteus'ta doğrulama

Düğüm Analizinin Cramer Yöntemi ile Çözümü ve Proteus Gösterimi

Devre analizinde düğüm analizi yöntemi ( node analysis) ile gerilim ve akım değerleri bulunabilir. Örnekte cramer yöntemi ile matris ve determinant çözümü yapılarak gerilim değerleri bulunmuştur. Devre analizinde çözümden emin olmak için devre Proteus simulasyon programında kurulmuştur. 

Akım kaynaklarının bulunduğu devre incelenmektedir.

Analiz yöntemi: 

1- Devrede düğümler ( a, b, c gibi) yani node'lar belirlenir. 

2 - En çok kol gelen düğüm (Örnekte Vr) referans seçilerek sıfır değeri verilir.

3- Her düğüme Va, Vb, Vc gibi gerilim değeri atanır. Düğüm sayısı N ise N-1 kadar denklem oluşacaktır.

4- Kirchoff'un akım kanunu uygulanarak denklemler elde edilir. Pasif işaret kuralına göre direnç güç çeken bir eleman olduğundan akımın giriş yaptığı yer pozitiftir. Her düğümde hayali bir akım vektörü direnç üzerinden geçişlerde düğüm noktasından dışarı yönde alınır. Örneğin aşağıda "a" düğümünde dirençler üzerinden geçecek akımlar dışarı yönlüdür. Aynı şekilde "b" düğümünden çıkan akımlar "a" düğümünden çıkan akım ile ortak direnç üzerinden geçse bile "a" düğümü göz önüne alınmadan akım yönü daima dışarı yönlü seçilmelidir. Kirchoff akım kanununda düğüme giren akımlar negatif, çıkan akımlar pozitif işaretlenir.

5- Cramer yöntemi ile matris çözümü yapılır.

"a" düğümüne 9A akım kaynağından akım girdiğinden negatif işaretlenir. 3A akım kaynağına düğümden çıkış olduğundan dirençler üzerinden geçecek akımlarla birlikte pozitif işaretlenir.

Akımlar cinsinden düğüm denklemleri yazılır. Her direnç 1 ohm alınmıştır.

\[I = \frac{{{V_{ab}}}}{R} = \frac{{Va - Vb}}{R}\]

  

(Akım yoğun potansiyelden daha az potansiyele akar) 

\[- 9 + 3 + \frac{{Va - Vb}}{1} + \frac{{Va - Vr}}{1} + \frac{{Va - Vc}}{1} = 0\]

\[Va - Vb + Va - 0 + Va - Vc = 6\]

 \[3Va - Vb - Vc = 6\]

( "a" düğümü için denklem)

"b" düğümüne 3A akım kaynağından gelen akım giriş yaptığından negatif işaretli alınır. Dirençlere giden akım dışarı yönlü olduğundan pozitif alınır.

\[- 3 + \frac{{Vb - Va}}{1} + \frac{{Vb - Vc}}{1} + \frac{{Vb - Vr}}{1} = 0\]

\[- 3 + Vb - Va + Vb - Vc + Vb - 0 = 0\]

 \[- Va + 3Vb - Vc = 3\]

( "b" düğümü için denklem)

"c" düğümüne 7 amper akım kaynağından akım girişi olduğundan negatif işaretli, dirençlere giden akımlar dışarı yönlü olacağından pozitif işaretli alınır.

\[- 7 + \frac{{Vc - Va}}{1} + \frac{{Vc - Vb}}{1} + \frac{{Vc - Vr}}{1} = 0\]

\[Vc - Va + Vc - Vb + Vc - 0 = 7\]

\[- Va - Vb + 3Vc = 7\]

("c" düğümü için denklem)

Denklemler  (4 düğüm noktasından  N-1=3 denklem oluşur)

\[3Va - Vb - Vc = 6\]

\[- Va + 3Vb - Vc = 3\]

\[- Va - Vb + 3Vc = 7\]

Va, Vb, Vc katsayıları "A" matrisine yazılır. Denklemler aşağıdaki gibi matris haline dönüştürülebilir.

"Va" gerilim değerini bulmak için A matrisindeki birinci sütuna [6,3,7] değerleri getirilir. Cramer yöntemi ile hesaplama yapılır.

İlk iki satır determinantta aynen alta yazılarak sağ çapraz  "+" , sol çapraz "-"işaretlenir ve "+" yolu boyunca tüm sayılar çarpılıp toplanır ve "-" yolu boyunca tüm sayılar çarpılıp toplanarak iki değer birbirinden çıkarılır.

+ çapraz ok yönünde çarpılıp toplanırsa: 

\[\left[ {6.3.3 + 3.( - 1).( - 1) + 7.( - 1).( - 1)} \right]\]

\[= (54 + 3 + 7) = 64\]

- çapraz ok yönünde çarpılıp toplanırsa;

\[\left[ {(7.3.( - 1) + 6.( - 1).( - 1) + 3.( - 1).3} \right]\]

\[= ( - 21 + 6 - 9) =  - 24\]

Determinant değeri 

= \[64 - ( - 24) = 88\]

Det A değeri alınırsa benzer şekilde;

\[DetA = (27 - 1 - 1) - (3 + 3 + 3) = 16\]

\[Va = \frac{{88}}{{16}} = 5,5V\]

Vb gerilimi de benzer şekilde elde edilir. [6,3,7] değerleri 2.sütuna getirilir.

\[(27 + 7 + 6) - (3 - 21 - 18) = 76\]

\[Vb = \frac{{76}}{{16}} = 4,75V\]

\[(63 + 6 + 3) - ( - 18 - 9 + 7) = 92\]

\[Vc = \frac{{92}}{{16}} = 5,75V\]

Proteus ile hızlı basit bir çizim yapılarak devredeki gerilim değerlerinin doğru olup olmadığının teyidi yapılabilir. 

Pasif İşaret Kuralı

 

Pasif İşaret Kuralı'nda herhangi bir devre elemanı terminaline akım pozitif(+) uçtan girip negatif(-) kabul edilen uçtan çıkıyorsa o devre elemanı güç harcar yani güç çeker. Çekilen güç pozitif işaret ile gösterilir.

Tersi olarak da akım negatif terminalden girip pozitif uçtan çıkarsa devre elemanı güç üretir yani güç verir. Verilen güç aynı şekilde pozitif işaret ile gösterilir. Ancak verilen ve çekilen güçler birbirinin zıt işaretlisi olur. 

ÖRNEK:

5 Amper akım, + uçtan girdiğinden ilk etapta çekilen güç durumu vardır gibi düşünülür ve pozitif işaret, formülde eşitliğin önüne yazılır. -10 Volt gerilim  ile çarpılarak güç formulü oluşturulur.

 \[{P_{\c{c}ekis}} =  + ( - 10).( + 5) =  - 50W\]

Ancak gerilim polaritesi zıt olduğundan çekiş yönünde gibi görünen güç  aslında veriş yönündedir. Harcanan güç ile verilen güç birbiri arasında zıt işaretlidir. Dolayısıyla verilen güç değeri pozitif olduğundan eleman devreye güç verir.

\[{P_{veris}} =  - {P_{\c{c}ekis}} = 50W\]

ÖRNEK:

-5 Amper akım devreyi + terminalden terk ettiğinden verilen güç ya da üretilen güç formülü eşitlikte pozitif işaret kullanılarak yazılabilir.

\[{P_{veris}} =  + (10).( - 5) =  - 50W\]

Ancak üretilen güç değeri negatif değer aldığından devre elemanı güç vermez güç çeker..

\[{P_{\c{c}ekis}} =  - {P_{veris}} = 50W\]

Eksi uçtan negatif işaretli giren akım artı uçtan pozitif işaret ile girmektedir.

Gerilim polaritesi ve akım yönüne bağlı olarak güç negatif veya pozitif olmaktadır. Pasif işaret kuralı ile devre elemanının güç çekmesi veya güç alması durumu belirlenir.